MATEMÁTICAS II
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
PROBLEMAS:
Paso 2: Relaciona y aplica funciones trigonométricas:
Sea el ángulo C, el ángulo base, se determina:
a) Cateto Opuesto = AB = Altura del edificio =
b) Cateto Adyacente = BC = distancia = 18 metros.
c) Ángulo = 54°
d) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente
es la función Tangente.
Paso 5: La respuesta sería:
La altura del edificio según la posición del observador es de 24.77 metros, a ello, hay que sumarle la altura del observador, lo que nos proporciona:
Altura Total h = 24.77 metros + 1.72 metros = 26.49 metros.
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
Ángulos verticales Estos ángulos están contenidos en un plano vertical.
Si se desea realizar alguna observación ya sea de objetos o puntos determinados del espacio, se utiliza dos términos muy comunes: ángulos de elevación y ángulo de depresión. Estos ángulos son formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. La línea de visión une el ojo de un observador con el lugar observado.
Si se desea realizar alguna observación ya sea de objetos o puntos determinados del espacio, se utiliza dos términos muy comunes: ángulos de elevación y ángulo de depresión. Estos ángulos son formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. La línea de visión une el ojo de un observador con el lugar observado.
Ángulo de elevación
Es el ángulo vertical (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto o punto observado se encuentra arriba de la línea horizontal.
Es el ángulo vertical (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto o punto observado se encuentra arriba de la línea horizontal.
Ángulo de depresión
Es el ángulo vertical (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuan el objeto o punto observado está debajo de la línea horizontal.
Es el ángulo vertical (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuan el objeto o punto observado está debajo de la línea horizontal.
PROBLEMA
1.- Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,8 m delpiso. El jugador está en la línea de tiro libre a 4,6 m delcentro de la canasta. El aro está a 3 m del piso. ¿Cuál esel ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente,
haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones
de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos
siempre con la Calculadora.
Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,
las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los
Ángulos del Triángulo.
Empezaremos a ver cada una de las Funciones:
1. Función Seno ( Sen):
La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
2. Función Coseno ( Cos):
La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
3. Función Tangente ( Tan):
Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:
4. Función Cotangente ( Cot):
Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
5. Función Secante ( Sec):
Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:
6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
Función Seno:
| a | sen a |  |
| 0 | 0 | |
| 45 | 0,71 | |
| 90 | 1 | |
| 135 | 0,71 | |
| 180 | 0 | |
| 225 | - 0,71 | |
| 270 | -1 | |
| 315 | - 0,71 | |
| 360 | 0 |
Función Coseno:
| a | cos a |  |
| 0 | 1 | |
| 45 | 0,71 | |
| 90 | 0 | |
| 135 | -0,71 | |
| 180 | -1 | |
| 225 | 0,71 | |
| 270 | 0 | |
| 315 | 0,71 | |
| 360 | 1 |
Función Tangente:
| a | tg a |  |
| 0 | 0 | |
| 45 | 1 | |
| 90 | //// | |
| 135 | - 1 | |
| 180 | 0 | |
| 225 | 1 | |
| 270 | //// | |
| 315 | - 1 | |
| 360 | 0 |
//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).
Función Cotangente:
| a | Cotg a |  |
| 0 | //// | |
| 45 | - 1 | |
| 90 | 0 | |
| 135 | 1 | |
| 180 | //// | |
| 225 | - 1 | |
| 270 | 0 | |
| 315 | //// | |
| 360 | - 1 |
Función Secante
| a | sec a |  |
| 0 | 1 | |
| 45 | 1,41 | |
| 90 | //// | |
| 135 | -1,41 | |
| 180 | -1 | |
| 225 | 1,41 | |
| 270 | //// | |
| 315 | 1,41 | |
| 360 | 1 |
Función Cosecante:
| a | Cosec a |  |
PROBLEMAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Un faro está ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y en un ángulo de depresión de 76° se divisa una embarcación. ¿A qué distancia de la base del faro se encuentra la embarcacción?
1) Realiza un esquema:
2) Relaciona y aplica funciones trigonométricas:
Sea el ángulo A, el ángulo base, se determina:
a) Cateto Opuesto = BC = distancia = x
b) Cateto Adyacente = AB = Altura del faro = 675 metros.
c) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es Tangente.
3) Cálculo de la distancia x:
4) Solución: La embarcación se encuentra a 2, 707.28 metros de distancia de la base del faro.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Identidades trigonométricas fundamentales
1Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
2Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
3Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
PROBLEMAS:
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