BLOQUES 8, 9 Y 10 DE MATEMÁTICAS

 

LEY DE SENOS Y COSENOS

 

 

 

 

 

 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

 

 

 

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

 

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LEY DE SENOS Y COSENOS

 

SENO:

 

 

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

 

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

 

 

 

 

COSENO:

 

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

 

 

 

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

 

Definiciones:

 

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

 

Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadigrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio. 

La media aritmética es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorcionada de la información de los datos.

La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas. 

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana.

Rango Medio es la media de las observaciones menor y mayor. como intervienen solamente estas observaciones, si hay valores extremos, se distorsiona como medida de posición, pero 

ofrece un valor adecuado, rápido y sencillo para resumir al conjunto de datos. 

 

 



Medida	Formula	Observaciones
Media		Donde xi se refiere a todo y cada uno de los elementos de la muestra y n es el numero total de elementos en la muestra.
Mediana	a)      p = (n/2)	Es la posición en donde se encuentra la mediana. Si n es impar, entonces es la opción a, en caso contrario, la b. El valor de la mediana se obtiene por observación
	b)      p = (n/2) + 1
Moda		Se obtiene el valor por observación
Rango Medio	(Valor máximo + Valor Mínimo) / 2

 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

 



MODA:

 

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

	fi	hi
[0, 5)	15	3
[5, 7)	20	10
[7, 9)	12	6
[9, 10)	3	3
	50

 

 

MEDIANA:

 

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi	Fi
[60, 63)	5	5
[63, 66)	18	23
[66, 69)	42	65
[69, 72)	27	92
[72, 75)	8	100
	100

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

 

MEDIA ARITMETICA:

 

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

	xi	fi	xi · fi
[10, 20)	15	1	15
[20, 30)	25	8	200
[30,40)	35	10	350
[40, 50)	45	9	405
[50, 60	55	8	440
[60,70)	65	4	260
[70, 80)	75	2	150
		42	1 820

 

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

 

 

Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos.

Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes:

 

RANGO Datos no agrupados El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos. Hay 2 maneras de expresar ésta medida:

 

 

1) La diferencia entre los valores mayor y menor

2) Los valores mayor y menor del grupo

 

Datos agrupados Hay dos formas para determinar el rango para datos agrupados:

 

 

1) Rango = punto medio de la clase más alta – punto medio de la más baja

2) Rango = límite superior de la clase más alta – límite inferior de la más baja

 

Ventajas:

 

 

Es relativamente sencilla su obtención

 

 El significado de ésta medida es fácil de comprender

Limitaciones

 

 

Considera sólo los valores extremos de un conjunto, y no proporciona mayor información respecto a los demás valores del mismo

 

Tiene una limitada utilidad para los distintos tipos de análisis estadísticos

 

 

DESVIACIÓN MEDIA

 

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

D_i = x - x

 

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

 

DESVIACION ESTÁNDAR O TÍPICA  

Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

 

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

 

VARIANZA

 

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

 

 

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

 

La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.

1. Calcular la dispersión del número de asistentes.

2. Calcular el coeficiente de variación.

3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

Desviación típica

Coeficiente de variación

3

Si todas las salas tienen un incremento de 50 personas, la media aritmética también se ve incrementada en 50 personas.

La desviación típica no varía, ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie.

La dispersión relativa es menor en el segundo caso. 

 

 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE DISPERCIÓN

 

 

DESVIACIÓN MEDIA

 

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

 

VARIANZA

 

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

   

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

 

DESVIACIÓN TIPICA

 

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

   

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

 

 

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

 

Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.

 

 

CRITERIOS Y REGLAS DE LA PROBABILIDAD

 

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

 

Regla de Adición

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo pueden obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.
De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Demostración:
Se conoce que

por otro lado se tiene que Entonces

 

Regla de Multiplicación

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar

Las relaciones y son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:
Calcular probabilidades de intersecciones de eventos con base en probabilidades condicionales.
Esta regla de manera general se puede expresar como:
Sea eventos tales que . Entonces

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un evento se llama probabilidad condicional y se denota por que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad, definida como

¿ Es una función de probabilidad?

es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

para todo evento .

Como

entonces dividiendo por se tiene los términos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III

Si es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces los eventos son también mutuamente excluyentes y así

 

PROBLEMAS DE APLICACION DE LOS CRITERIOS DE PROBABILIDAD

 

REGLA DE ADICIÓN  

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

1. (Inspección de Lotes)
Un lote contiene items de los cuales son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento que es la intersección entre los eventos y . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

 

 
PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad , una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

Solución:

Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta
I : el evento la señal es útil con interferencia pura
S: el evento que indica ocurre una señal
Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así: